為什麼能量守恆是時間平移對稱性

1. 諾特定理詳解對稱與守恆的關系

物理定律的對稱性揭示了其在不同變換條件下的不變性，這種不變性引導我們理解一種恆定的物理量，即守恆量。例如，空間旋轉的對稱性保證了角動量的守恆，對應角動量守恆定律。同樣，時間平移對稱意味著能量守恆，瀑布中水流發電功率的恆定體現了這一原理。空間平移對稱則對應動量守恆，電荷共軛對稱則反映電量守恆。這些守恆定律使自然界的變化規律更為簡潔，易於理解。

守恆定律在科學研究中占據核心地位，它們揭示了自然界的和諧與秩序。科學家對守恆定律的洞察力和追求，使得一旦一個定律被確認，人們通常會極力維護，而非輕易改變。因此，理解對稱性與守恆定律的內在聯系，就認識到對稱性原理的重要性，難以想像一個缺乏對稱性的世界會多麼難以預測和操控。

1918年，德國女數學家艾米·諾特首次揭示了這一對應關系，即著名的「諾特定理」。自此，物理學家形成了一種思維模式：對新發現的對稱性，必然尋求相應的守恆定律；反之，每一條新發現的守恆定律，都促使他們尋找其背後的對稱性原則。諾特定理極大地提升了物理學中對稱性的重要性，而1926年的宇稱守恆定律更是這一關系在微觀世界的拓展。

諾特定理是理論物理的中心結果之一，它表達了連續對稱性和守恆定律的一一對應。諾特定理對於所有基於作用量原理的物理定律是成立。它得名於20世紀初的數學家埃米·諾特。諾特定理和量子力學深刻相關，因為它僅用經典力學的原理就可以認出和海森堡測不準原理相關的物理量（譬如位置和動量）.

2. 對稱性與能量守恆

近代物理學中的重要觀念。如果運動規律具有一種對稱性，必相應地存在一條守恆定律。
物理學關於對稱性探索的一個重要進展是建立諾特定理，定理指出，如果運動定律在某一變換下具有不變性，必相應地存在一條守恆定律。簡言之，物理定律的一種對稱性，對應地存在一條守恆定律。例如，運動定律的空間平移對稱性導致動量守恆定律，時間平移對稱性導致能量守恆定律，空間旋轉對稱性（空間各向同性）導致角動量守恆定律。上述經典物理范圍內的對稱性和守恆定律相聯系的諾特定理後來經過推廣，在量子力學范圍內也成立。在量子力學和粒子物理學中，又引入了一些新的內部自由度，認識了一些新的抽象空間的對稱性以及與之相應的守恆定律。
對稱性和守恆定律取決於相互作用的性質，相互作用類型不同有不同的結果。例如強相互作用和電磁相互作用下，粒子的運動具有空間反演對稱性。空間反演是指空間坐標相對於坐標原點的變換，即將坐標 x、y、z 換成－x、－y、－z的變換。空間反演對稱性導致宇稱守恆。然而在弱相互作用下，粒子的運動不存在空間反演對稱性和宇稱守恆。這個曾經使物理學家們確信無疑普遍成立的宇稱守恆定律於1956年經李政道和楊振寧仔細分析當時的實驗資料，指出弱作用下宇稱守恆定律不成立，不久被吳健雄等人以確鑿的實驗所證實。
表中給出對稱性和守恆定律之間的聯系以及不同相互作用下的表現。

意義
對物質運動基本規律的探索中，對稱性和守恆定律的研究佔有重要的地位。從歷史發展過程來看，無論是經典物理學還是近代物理學，一些重要的守恆定律常常早於普遍的運動規律而被認識。質量守恆、能量守恆、動量守恆、電荷守恆就是人們最早認識的一批守恆定律。這些守恆定律的確立為後來認識普遍運動規律提供了線索和啟示。對稱性和守恆定律之間的聯系，提供了從分析對稱性入手來研究守恆定律。

3. 什麼是時間平移不變性根據時間平移不變性能推出能量

時間平移不變性是指物理規律不隨時間的變化而變化。具體來說：

1. 定義：時間平移不變性意味著，無論在哪個時間點觀察，物理系統的基本規律都是相同的。例如，現在物體的運動滿足牛頓第二定律，那麼在過去或未來的任何時間點，同樣滿足這一規律。

2. 與能量的關系：

   • 量子力學角度：在量子力學中，波函數對時間的偏導等於哈密頓運算元作用在波函數上。由於時間平移不變性，波函數對時間的偏導為0，即哈密頓量作用在波函數上是常數。而哈密頓量的本徵值代表能量，因此能量保持不變，即能量守恆。
   • 經典力學角度：在經典力學的分析力學分支中，哈密頓力學也能給出類似的結果。時間平移不變性導致哈密頓量守恆，進而推導出能量守恆。
   • Noether定理：該定理指出，一個連續的對稱性導致一個守恆律。時間平移對稱性正是導致能量守恆定律的原因。

綜上所述，時間平移不變性是物理學中的一個基本原理，它保證了物理規律在不同時間點的一致性，並可以通過量子力學和經典力學的理論推導出能量守恆定律。

4. 諾特定律說一種對稱性對應一種守恆。

物質的時間平移對稱都是特殊情況，只有處於穩態的物體(系)滿足時間平移對稱，因為穩態意味著物體(系)的狀態與時間因子「t"無關，舉例如電流強度恆定的導線，流速恆定的一段水管等。它們都滿足單位長度上流經的功率恆定，這個能量不會隨時間的改變而改變，因此，時間平移對稱對應於能量守恆。

你也可以試著從高斯定理或斯托克斯定理的角度去理解對稱與守恆的內在聯系：無源場的散度為零，無旋場的環流量為零。而這也最接近諾特定理的數學表述：對於每個局部作用下的可微對稱性，存在一個對應的守恆流。

物質時刻變化，但規律亘古不變。其實對諾特定理說的時間平移對稱具有普適意義的就是物理定律，因為物理定律是規律，規律是不含時的。最簡單的例子如牛二律，F=ma，與時間有關系嗎？不同的時間，昨天、今天或明天，物體的運動都遵從牛頓定律啊。